Могу ли я дать ребёнку фамилию своего биологического отца?

Вы можете дать ребенку фамилию и отчество, какое пожелаете. Будет записано в документе с ваших слов.Тогда прочерка в графе «отец» не будет. 

Ст. 51 Семейного кодекса РФ сказано, что

3. В случае рождения ребенка у матери, не состоящей в браке, при отсутствии совместного заявления родителей или при отсутствии решения суда об установлении отцовства фамилия отца ребенка в книге записей рождений записывается по фамилии матери, имя и отчество отца ребенка — по ее указанию.

Таким образом, фамилия у него будет ваша, а отчество — по вашему выбору. Либо прочерк.